标准偏差的计算 [复制链接]

　　二、测量准确度
　　四、
　　五、【
　　六、
　　七、测量不确定度
　　八、
　　1.正态分布
　　用均值和方差所定义的钟形概率分布密度函数或曲线，称为正态分布。其密度函数表达式为 ：
　　可简单等价表示为：X－N（a, σ2）
　　式中：a为无穷多个测得值的算术平均值，σ2和σ分别称为测得值或其误差的方差和标准偏差，指数函数exp(z)=e2，π≈3.1416和e≈2.7183为数学常数，X为随机变量，N表示正态分布。
　　A和σ2两个参数一经确定，正态密度函数也就确定了。
　　1)统计特征
　　【数学】期望【值】是指对同一量的无穷多测得值的算术平均。
　　方差是指无穷多个误差平方的算术评平均。
　　标准偏差σ为方差的正平方根。
　　随机变量X的期望、方差和标准偏差也常用下列数学符号表示为:
　　Ex＝a，Dx＝σ2， ＋
　　对应误差 ，则有
　　，    ＋
　　（分布曲线图）
　　2)常用术语
　　如图所示：
　　称为置信水平，置信概率，置信度。它表示随机变量或误差落在区间 中的可能性。α称为显着形水平，显着度；Ca称为置信因子，分位数、百分点临界值；Caσ称为置信限； 称为置信区间。
　　3)正态分布置信因子
　　表2  正态分布置信因子
　　dPCa
　　0.50.50.6745
　　0.31730.68271
　　0.050.951.96
　　0.04550.95452
　　0.010.992.58
　　0.00270.99733
　　误差绝对值大于3σ的概率仅为0.0027≈0.3%，粗略地说，在1000个误差中，只有3个超过3σ。100个误差中，只有0.3个（0.3≈0）超过3σ。故测量次数不多的测量，其误差没有一个超过3σ是正常的。如果有超过3σ的误差，则出现了异常。由此，可建立粗大误差或异常值的剔除准则。我国常常采用3σ作为正常的误差界限的依据，在国外也有用2σ的。
　　置信因子的重要作用在于：当已知误差限时，用此限除以置信因子，可得到标准偏差；当已知标准偏差时，用此标准偏差乘以置信因子，可获得对应的误差限。
　　2.t分布或学生分布
　　1)贝赛尔公式
　　在实际相同的条件下，对某一稳定的是进行几次测量，值得X1，……，Xn。可求得：
　　算术平均值：
　　残余误差： ，I=1, …..n
　　残余平方和：
　　自由度：
　　标准偏差（估计值）：   （此式称贝赛尔公式）
　　的标准偏差：
　　何谓自由度？自由度是残余误差平方和中独立项的数目。
　　因为：      ………..
　　可求得：
　　亦即，若已知 ，则通过上述条件可求得 ，故独立的残余误差只有n-1个。请注意：在n个测量值中，确定一个被测量值为 ，自由度为n-1。在更广义的情况下，如果n个测量值用最小二乘法确定出m个不同的被测量值，则其自由度为n-m。
　　例：对某量测量5次得：29.18, 29.24, 29.27, 29.25, 29.26，求平均值及标准偏差。
　　，0，0.03，0.01，0.02
　　从上可见，S与σ是有所不同的，S是在有限的几次测量中求得的，它是σ的估计值，当 时， 。所以，称σ为理论或总体标准偏差，S称为样本标准偏差或标准差估计值。在不发生误解时，简称为标准偏差。ISO称为标准不确定度。
　　当 时， ，可见，正态分布是t分布的极限分布，是t分布的一个特例；而t分布是包含了正态分布的一个更为广义的分布。
　　2)t分布置信因子
　　设自由度为 ，置信水平为P，对应t分布的置信因子为 ，该值可从表2中查取。
　　上例中， ， ，S=0.035，给定置信水平P＝99％，查表 ，对应置信限为： 。
　　即被测量以99％的概率落在以下区间：29.24±0.072  或[29.168,  29.312]
　　自由度
　　置信水平P％
　　67.28909595.459999.73
　　11.846.3112.7113.9763.66235.80
　　21.322.924.304.539.9219.21
　　31.202.353.183.315.849.22
　　41.142.132.782.874.606.62
　　…..
　　11.9023
　　3.函数的标准偏差或方差
　　1)线性函数
　　已知线性函数 ，a，b，c为常数，x，y，z的标准偏差为 ，求 的标准偏差 。
　　通过求偏微分，由分项标准偏差计算总的标准偏差的式子称为误差传递式。
　　当x，y，z（或 ）之间独立或无关时，可以导得方差传递式为：
　　如果仅知方差估计值S2，则对应有：
　　2)非线性函数
　　已知
　　可以将非线性函数转换为线性函数，而得到误差得传递式：
　　对应的系数a，b，c，可采用求偏导数方法求出：
　　系数a，b，c称为误差的传递系数，ISO称为灵敏度系数。它具有两个作用：
　　a.若x为温度， 为力值，则a起着将温度转变为力值的作用。即转变量纲的作用；
　　b.起着放大或缩小误差的作用
　　3)方差传递定理
　　由上可知， ，由于误差较小而可得到 ，这也包括了线性函数的情况，其中系数可用偏导数求出。当 之间独立时，可以得到方差传递公式 。这一公式可以应用到许许多多方面：如数据合理处理，误差分配，测量设计，最佳实验条件选择，微小误差准则、误差的误差、限差，合成标准不确定度等等。
　　如果令 ，  ，则可得
　　这一公式称为方差合成定理。无论x，y，z各是什么分布，该定理依然成立，它已成为方差或不确定度合成的基础公式。从该公式可见， 的方差是由方差分量 所组成，而这些方差分量已包含误差的传递系数（灵敏度系数）――偏导数的值。